[GSL 강좌 1] 보간법 (Interpolation) - 1

안녕하세요. Numerical Factory 입니다.

오늘은 GSL을 활용한 보간법에 대해 말씀 드리려 합니다.

보간법(Interpolation)은 과학분야에서 뿐만 아니라 모든 산업에서 사용되는 방법입니다.

보간법의 가장 기초는 간단합니다. 

"주어진 데이터로 부터 우리가 원하는 값을 얻는 작업" 입니다.

보간법은 종류에 따라 크게 4가지로 분류됩니다.

1. Piecewise constant interpolation
2. Linear interpolation
3. Polynomial interpolation
4. Spline interpolation

1->4번의 방법으로 갈 수록 보다 부드러운 형태의 함수를 사용합니다. 또한 계산량이 늘어나는 단점이 있습니다.

1. Piecewise constant interpolation 

가장 간단한 방법의 보간법 입니다. 주어진 데이터가 있다면, 우리가 원하는 점의 데이터를 구할때 주어진 점에 가장 가까운 함수값을 이용하는 방법입니다. 이런 방법때문에 Nearest-neighborhood interpolation 이라고도 불립니다.

아래의 그래프에서 빨간점은 우리가 알고있는 데이터 입니다. 이때 파란점들은 우리가 원하는 지점에서의 데이터 값입니다. 

<출처: wikipedia>

계산 효율은 매우 높지만 데이터간 불연속점이 존재 하기 때문에 미분값을 도출 할 수 없는 단점이 있습니다.

2. Linear interpolation

주어진 데이터와 데이터를 1차 함수로 만들어서 그사이의 값을 유추 하는 방법입니다. Piecewise constant interpolation 과 달리 데이터간 불연속점이 존재 하지 않습니다. 하지만 1계 미분값에서 불연속이 생기기 때문에 2계 미분을 처리하는 물리량에는 적합하지 않은 방법입니다.

아래의 그래프에서 빨간점은 주어진 데이터 입니다. 주어진 데이터를 직선으로 연결한 함수로 통해 중간값을 도출 할 수 있습니다.

<출처: Wikipedia>

3. Polynomial interpolation

Linear interpolation 방법보다 데이터사이의 값을 보다 부드럽게 만들 수 있는 보간법입니다. Polynomial interpolation의 경우 n 개의 데이터가 있다면 가장 높은 차수는 n+1 입니다. 가령 주어진 데이터가 7개라면 6차 다항식을 통해서 함수식을 만들 수 있습니다. 또한 n-2 계 미분까지 연속적이기 때문에 고차 미분의 물리량에 적용할 수 있는 방법입니다.

단점은 계산비용이 매우 크다는점입니다. 데이터가 많아질수록 다항식의 차수는 높아지기 때문에 보간식을 만드는 비용이 커집니다. 또한 Polynomial interpolation의 가장 치명적인 단점은 주어진 데이터에 따라 Runge's Phenomenon 이 발생합니다. Runge's Phenomenon는 고차항 보간법을 할때 생기는 부작용 현상으로 우리가 원하지 않는 노이즈가 발생합니다. 이를 해결하기 위해서는 Chevyshev Polynomial을 사용하면 완화 시킬수 있습니다.

4. Spline interpolation

보간법에서 가장 많이 쓰는 방법으로 계산의 정확도 대비 계산비용이 제일 효율적인 방법입니다. 우리가 자연의 현상을 기술할때 일반적으로 2계 도함수까지 표현 합니다. 거리라는 물리량을 통해서 속도는 거리의 1계 미분값, 가속도는 거리의 2계 미분값을 사용합니다. 이점을 이용해서 Spline interpolation은 3차 다항식을 사용합니다. Polynomial interpolation과 달리 점과 점사이를 3차 다항식으로 기술 합니다. 또한 점과 점사이에서 불연속점이 생기지 않는 3차 다항식을 만들어서 사용합니다.

아래의 그래프에서 빨간점과 빨간점 사이를 3차 다항식으로 표현 합니다. 더불어 두 곡선이 불연속 하지 않게끔 3차 다항식을 표현하는것이 핵심 입니다.

<출처: Wikipedia>

오늘은 4가지 보간법에 대해서 아주 간략하게 설명 드렸습니다. 좀더 수학적인 표현을 원하시는 분은 interpolation 여기를 방문해주시기 바랍니다.

다음에는 GSL을 사용한 interpolation 실전 예제에서 만나 뵙겠습니다.

Numerical Factory